Ile Liczb Naturalnych Dwucyfrowych Należy Do Zbioru A. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru , a cyfra jedności należy do zbioru , losujemy jedną liczbę.oblicz. Dane są przedziały a=<2,7> i b=<6,~> podaj ile liczb całkowitych należy do zbioru a /b , a ile do zbioru a∩b. 14Ile jest wielokrotności […] -Ile jest całkowitych dodatnich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 5 lub przez 6? .- Ile jest różnyc… Natychmiastowa odpowiedź na Twoje pytanie. Suma wszystkich liczb dwucyfrowych , które mozna zapisac za pomocą tych dwóch liczb wynosi 242. Warunki korzystania z Brainly Preferencje dotyczące Czy wiesz, co to są liczby pierwsze i jak je znaleźć? W tym pliku PDF znajdziesz definicję, własności i przykłady liczb pierwszych, a także dowiesz się, jak sprawdzić, czy dana liczba jest pierwsza. To przydatna wiedza dla każdego, kto interesuje się matematyką i jej zastosowaniami. e słupkowym. a) Przypisz każdemu słupkowi wy- kresu odpowiednią liczbę osób spośród podanych. I. 12 III. 78 II. 45 IV. 100 5 1 4 2 3 V. 125 liczba osób 120 100 80 60 40 20- żółty biały szary zielony czerkołowymjb) Zebrane dane uczniowie postanowili przedstawić na diagramie kołowym. jelaskan prinsip pendidikan yang diterapkan oleh jepang di indonesia. Kolejny niezbyt interesujący wpis. Musiałem trzy pompki zrobić, aby się za to zabrać. Na więcej mnie nie stać :P. Dobra jedziemy z koksem. Znów się kłania Podstawa programowa tylko teraz I i II etap edukacyjny, tzn. Szkoła Podstawowa w nowej/starej ośmioletniej odsłonie. 8 lat w jednym budynku, to tyle ile usłyszał pewien człowieczek za niszczenie banknotów i wyłudzenia ( Źródło Polsat News). I etap edukacyjny to klasy I-III, II etap to IV-VIII. Poniżej wymienione są Cele kształcenia. tam gdzie pojawia się ikona linku można przejść do listy zadań związanych z tym celem. Lista zadań jest systematycznie rozwijana. MATEMATYKA II etap edukacyjny Cele kształcenia - wymagania ogólne I. Sprawności rachunkowa. 1. Wykonywanie nieskomplikowanych obliczeń w pamięci lub w działaniach trudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie tych umiejętności w sytuacjach Weryfikowanie i interpretowanie otrzymanych wyników oraz ocena sensowności rozwiązania. II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w różnej formie oraz ich Interpretowanie i tworzenie tekstów o charakterze matematycznym oraz graficzne przedstawianie Używanie języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami Dobieranie modelu matematycznego do prostej sytuacji oraz budowanie go w różnych kontekstach, także w kontekście praktycznym. IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie prostego rozumowania, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, rozróżnianie dowodu od Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii i formułowanie wniosków na ich Stosowanie strategii wynikającej z treści zadania, tworzenie strategii rozwiązania problemu, również w rozwiązaniach wieloetapowych oraz w takich, które wymagają umiejętności łączenia wiedzy z różnych działów matematyki. Treści nauczania – wymagania szczegółowe KLASY IV–VI I. Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń: 1) zapisuje i odczytuje liczby naturalne wielocyfrowe;2) interpretuje liczby naturalne na osi liczbowej;3) porównuje liczby naturalne;4) zaokrągla liczby naturalne;5) liczby w zakresie do 3 000 zapisane w systemie rzymskim przedstawia w systemie dziesiątkowym, a zapisane w systemie dziesiątkowym przedstawia w systemie rzymskim. II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń: 1) dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe lub większe, liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od dowolnej liczby naturalnej;2) dodaje i odejmuje liczby naturalne wielocyfrowe sposobem pisemnym i za pomocą kalkulatora;3) mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową sposobem pisemnym, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);4) wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych;5) stosuje wygodne dla siebie sposoby ułatwiające obliczenia, w tym przemienność i łączność dodawania i mnożenia oraz rozdzielność mnożenia względem dodawania;6) porównuje liczby naturalne z wykorzystaniem ich różnicy lub ilorazu;7) rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100;8) rozpoznaje liczbę złożoną, gdy jest ona jednocyfrowa lub dwucyfrowa, a także gdy na istnienie dzielnika właściwego wskazuje cecha podzielności;9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze;10) oblicza kwadraty i sześciany liczb naturalnych;11) stosuje reguły dotyczące kolejności wykonywania działań;12) szacuje wyniki działań;13) znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) w sytuacjach nie trudniejszych niż typu NWD(600, 72), NWD(140, 567), NWD(10000, 48), NWD(910, 2016) oraz wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki;14) rozpoznaje wielokrotności danej liczby, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze, liczby złożone;15) odpowiada na pytania dotyczące liczebności zbiorów różnych rodzajów liczb wśród liczb z pewnego niewielkiego zakresu (np. od 1 do 200 czy od 100 do 1000), o ile liczba w odpowiedzi jest na tyle mała, że wszystkie rozważane liczby uczeń może wypisać;16) rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze, w przypadku gdy co najwyżej jeden z tych czynników jest liczbą większą niż 10;17) wyznacza wynik dzielenia z resztą liczby a przez liczbę b i zapisuje liczbę a w postaci: III. Liczby całkowite. Uczeń: 1) podaje praktyczne przykłady stosowania liczb ujemnych;2) interpretuje liczby całkowite na osi liczbowej;3) oblicza wartość bezwzględną;4) porównuje liczby całkowite;5) wykonuje proste rachunki pamięciowe na liczbach całkowitych IV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń: 1) opisuje część danej całości za pomocą ułamka;2) przedstawia ułamek jako iloraz liczb naturalnych, a iloraz liczb naturalnych jako ułamek zwykły;3) skraca i rozszerza ułamki zwykłe;4) sprowadza ułamki zwykłe do wspólnego mianownika;5) przedstawia ułamki niewłaściwe w postaci liczby mieszanej, a liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego;6) zapisuje wyrażenia dwumianowane w postaci ułamka dziesiętnego i odwrotnie;7) zaznacza i odczytuje ułamki zwykłe i dziesiętne na osi liczbowej oraz odczytuje ułamki zwykłe i dziesiętne zaznaczone na osi liczbowej;8) zapisuje ułamki dziesiętne skończone w postaci ułamków zwykłych;9) zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie lub skracanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora);10) zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w pkt 9 w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (z użyciem wielokropka po ostatniej cyfrze), uzyskane w wyniku dzielenia licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora;11) zaokrągla ułamki dziesiętne;12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne);13) oblicza liczbę, której część jest podana (wyznacza całość, z której określono część za pomocą ułamka);14) wyznacza liczbę, która powstaje po powiększeniu lub pomniejszeniu o pewną część innej liczby. V. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń: 1) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe o mianownikach jedno- lub dwucyfrowych, a także liczby mieszane;2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne w pamięci (w przykładach najprostszych), pisemnie i za pomocą kalkulatora (w przykładach trudnych);3) wykonuje nieskomplikowane rachunki, w których występują jednocześnie ułamki zwykłe i dziesiętne;4) porównuje ułamki z wykorzystaniem ich różnicy;5) oblicza ułamek danej liczby całkowitej;6) oblicza kwadraty i sześciany ułamków zwykłych i dziesiętnych oraz liczb mieszanych;7) oblicza wartość prostych wyrażeń arytmetycznych, stosując reguły dotyczące kolejności wykonywania działań;8) wykonuje działania na ułamkach dziesiętnych, używając własnych, poprawnych strategii lub za pomocą kalkulatora;9) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych, wymagających stosowania działań arytmetycznych na liczbach całkowitych lub liczbach zapisanych za pomocą ułamków zwykłych, liczb mieszanych i ułamków dziesiętnych, także wymiernych ujemnych o stopniu trudności nie większym niż w przykładzie VI. Elementy algebry. Uczeń: 1) korzysta z nieskomplikowanych wzorów, w których występują oznaczenia literowe, opisuje wzór słowami;2) stosuje oznaczenia literowe nieznanych wielkości liczbowych i zapisuje proste wyrażenia algebraiczne na podstawie informacji osadzonych w kontekście praktycznym, na przykład zapisuje obwód trójkąta o bokach: a, a+2, b; rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą występującą po jednej stronie równania (przez zgadywanie, dopełnianie lub wykonanie działania odwrotnego), na przykład VII. Proste i odcinki. Uczeń: 1) rozpoznaje i nazywa figury: punkt, prosta, półprosta, odcinek;2) rozpoznaje proste i odcinki prostopadłe i równoległe, na przykład jak w sytuacji określonej w zadaniu: Odcinki AB i CD są prostopadłe, odcinki CD i EF są równoległe oraz odcinki EF i DF są prostopadłe. Określ wzajemne położenie odcinków DF oraz AB. Wykonaj odpowiedni rysunek;3) rysuje pary odcinków prostopadłych i równoległych;4) mierzy odcinek z dokładnością do 1 mm;5) znajduje odległość punktu od prostej. VIII. Kąty. Uczeń: 1) wskazuje w dowolnym kącie ramiona i wierzchołek;2) mierzy z dokładnością 1o do kąty mniejsze niż 180o;3) rysuje kąty mniejsze od 180o;4) rozpoznaje kąt prosty, ostry i rozwarty;5) porównuje kąty;6) rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe oraz korzysta z ich własności. IX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń: 1) rozpoznaje i nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne;2) konstruuje trójkąt o danych trzech bokach i ustala możliwość zbudowania trójkąta na podstawie nierówności trójkąta;3) stosuje twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta;4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;5) zna najważniejsze własności kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i trapezu, rozpoznaje figury osiowosymetryczne i wskazuje osie symetrii figur;6) wskazuje na rysunku cięciwę, średnicę oraz promień koła i okręgu;7) rysuje cięciwę koła i okręgu, a także, jeżeli dany jest środek okręgu, promień i średnicę; w trójkącie równoramiennym wyznacza przy danym jednym kącie miary pozostałych kątów oraz przy danych obwodzie i długości jednego boku długości pozostałych boków. X. Bryły. Uczeń: 1) rozpoznaje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce, stożki i kule w sytuacjach praktycznych i wskazuje te bryły wśród innych modeli brył;2) wskazuje wśród graniastosłupów prostopadłościany i sześciany i uzasadnia swój wybór;3) rozpoznaje siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów;4) rysuje siatki prostopadłościanów;5) wykorzystuje podane zależności między długościami krawędzi graniastosłupa do wyznaczania długości poszczególnych krawędzi. XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń: 1) oblicza obwód wielokąta o danych długościach boków;2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku oraz w sytuacjach praktycznych, w tym także dla danych wymagających zamiany jednostek i w sytuacjach z nietypowymi wymiarami, na przykład pole trójkąta o boku 1 km i wysokości 1 mm;3) stosuje jednostki pola: mm2, cm2, dm2, m2, km2, ar, hektar (bez zamiany jednostek w trakcie obliczeń);4) oblicza pola wielokątów metodą podziału na mniejsze wielokąty lub uzupełniania do większych wielokątów jak w sytuacjach:5) oblicza objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi;6) stosuje jednostki objętości i pojemności: mililitr, litr, cm3, dm3, m3;7) oblicza miary kątów, stosując przy tym poznane własności kątów i wielokątów. XII. Obliczenia praktyczne. Uczeń: 1) interpretuje 100% danej wielkości jako całość, 50% – jako połowę, 25% – jako jedną czwartą, 10% – jako jedną dziesiątą, 1% – jako jedną setną części danej wielkości liczbowej;2) w przypadkach osadzonych w kontekście praktycznym oblicza procent danej wielkości w stopniu trudności typu 50%, 20%, 10%;3) wykonuje proste obliczenia zegarowe na godzinach, minutach i sekundach;4) wykonuje proste obliczenia kalendarzowe na dniach, tygodniach, miesiącach, latach;5) odczytuje temperaturę (dodatnią i ujemną);6) zamienia i prawidłowo stosuje jednostki długości: milimetr, centymetr, decymetr, metr, kilometr;7) zamienia i prawidłowo stosuje jednostki masy: gram, dekagram, kilogram, tona;8) oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy dana jest jego długość w skali oraz długość odcinka w skali, gdy dana jest jego rzeczywista długość;9) w sytuacji praktycznej oblicza: drogę przy danej prędkości i czasie, prędkość przy danej drodze i czasie, czas przy danej drodze i prędkości oraz stosuje jednostki prędkości km/h i m/s. XIII. Elementy statystyki opisowej. Uczeń: 1) gromadzi i porządkuje dane;2) odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tekstach, tabelach, na diagramach i na wykresach, na przykład: wartości z wykresu, wartość największą, najmniejszą, opisuje przedstawione w tekstach, tabelach, na diagramach i na wykresach zjawiska przez określenie przebiegu zmiany wartości danych, na przykład z użyciem określenia „wartości rosną”, „wartości maleją”, „wartości są takie same” („przyjmowana wartość jest stała”). XIV. Zadania tekstowe. Uczeń: 1) czyta ze zrozumieniem tekst zawierający informacje liczbowe;2) wykonuje wstępne czynności ułatwiające rozwiązanie zadania, w tym rysunek pomocniczy lub wygodne dla niego zapisanie informacji i danych z treści zadania;3) dostrzega zależności między podanymi informacjami;4) dzieli rozwiązanie zadania na etapy, stosując własne, poprawne, wygodne dla niego strategie rozwiązania;5) do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym stosuje poznaną wiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz nabyte umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody;6) weryfikuje wynik zadania tekstowego, oceniając sensowność rozwiązania np. poprzez szacowanie, sprawdzanie wszystkich warunków zadania, ocenianie rzędu wielkości otrzymanego wyniku;7) układa zadania i łamigłówki, rozwiązuje je; stawia nowe pytania związane z sytuacją w rozwiązanym zadaniu. KLASY VII–VIII I. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń: 1) zapisuje iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim;2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach całkowitych dodatnich;3) mnoży potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach;4) podnosi potęgę do potęgi;5) odczytuje i zapisuje liczby w notacji wykładniczej , gdy , k jest liczbą całkowitą. II. Pierwiastki. Uczeń: 1) oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych;2) szacuje wielkość danego pierwiastka kwadratowego lub sześciennego oraz wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki;3) porównuje wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki z daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby wymierne większe lub mniejsze od takiej wartości, na przykład znajduje liczbę całkowitą a taką, że: 4) oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka;5) mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia. III. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną i z wieloma zmiennymi. Uczeń: 1) zapisuje wyniki podanych działań w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych;2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych;3) zapisuje zależności przedstawione w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych;4) zapisuje rozwiązania zadań w postaci wyrażeń algebraicznych jak w przykładzie: Bartek i Grześ zbierali kasztany. Bartek zebrał n kasztanów, Grześ zebrał 7 razy więcej. Następnie Grześ w drodze do domu zgubił 10 kasztanów, a połowę pozostałych oddał Bartkowi. Ile kasztanów ma teraz Bartek, a ile ma Grześ? IV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń: 1) porządkuje jednomiany i dodaje jednomiany podobne (tzn. różniące się jedynie współczynnikiem liczbowym);2) dodaje i odejmuje sumy algebraiczne, dokonując przy tym redukcji wyrazów podobnych;3) mnoży sumy algebraiczne przez jednomian i dodaje wyrażenia powstałe z mnożenia sum algebraicznych przez jednomiany;4) mnoży dwumian przez dwumian, dokonując redukcji wyrazów podobnych. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;2) oblicza liczbę a równą p procent danej liczby b;3) oblicza, jaki procent danej liczby b stanowi liczba a;4) oblicza liczbę b, której p procent jest równe a;5) stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, również w przypadkach wielokrotnych podwyżek lub obniżek danej wielkości. VI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń: 1) sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego,drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą, na przykład sprawdza, które liczbycałkowite niedodatnie i większe od –8 są rozwiązaniami równania 2) rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych;3) rozwiązuje równania, które po prostych przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym także z obliczeniami procentowymi;5) przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość we wzorach geometrycznych (np. pól figur) i fizycznych (np. dotyczących prędkości, drogi i czasu). VII. Proporcjonalność prosta. Uczeń: 1) podaje przykłady wielkości wprost proporcjonalnych,2) wyznacza wartość przyjmowaną przez wielkość wprost proporcjonalną w przypadku konkretnej zależności proporcjonalnej, na przykład wartość zakupionego towaru w zależności od liczby sztuk towaru, ilość zużytego paliwa w zależności od liczby przejechanych kilometrów, liczby przeczytanych stron książki w zależności od czasu jej czytania;3) stosuje podział proporcjonalny. VIII. Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Uczeń: 1) zna i stosuje twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych (z wykorzystaniem zależności między kątami przyległymi);2) przedstawia na płaszczyźnie dwie proste w różnych położeniach względem siebie, w szczególności proste prostopadłe i proste równoległe;3) korzysta z własności prostych równoległych, w szczególności stosuje równość kątów odpowiadających i naprzemianległych;4) zna i stosuje cechy przystawania trójkątów;5) zna i stosuje własności trójkątów równoramiennych (równość kątów przy podstawie);6) zna nierówność trójkąta i wie, kiedy zachodzi równość;7) wykonuje proste obliczenia geometryczne wykorzystując sumę kątów wewnętrznych trójkąta i własności trójkątów równoramiennych;8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego);9) przeprowadza dowody geometryczne o poziomie trudności nie większym niż w przykładach:a) dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym AC=BC. W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD. Udowodnij, że kąt ABC jest dwa razy większy od kąta BAD,b) na bokach BC i CD prostokąta ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta, dwa trójkąty równoboczne BCE i CDF. Udowodnij, że AE=AF. IX. Wielokąty. Uczeń: 1) zna pojęcie wielokąta foremnego;2) stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta, kwadratu, równoległoboku, rombu, trapezu, a także do wyznaczania długości odcinków o poziomie trudności nie większym niż w przykładach:a) oblicz najkrótszą wysokość trójkąta prostokątnego o bokach długości: 5 cm, 12 cm i 13 cm,b) przekątne rombu ABCD mają długości AC = 8 dm i BD = 10 dm. Przekątną BD rombu przedłużono do punktu E w taki sposób, że odcinek BE jest dwa razy dłuższy od tej przekątnej. Oblicz pole trójkąta CDE.(zadanie ma dwie odpowiedzi). X. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie. Uczeń: 1) zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających warunek taki jak lub taki jak ;2) znajduje współrzędne danych (na rysunku) punktów kratowych w układzie współrzędnych na płaszczyźnie;3) rysuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty kratowe o danych współrzędnych całkowitych (dowolnego znaku);4) znajduje środek odcinka, którego końce mają dane współrzędne (całkowite lub wymierne) oraz znajduje współrzędne drugiego końca odcinka, gdy dany jest jeden koniec i środek;5) oblicza długość odcinka, którego końce są danymi punktami kratowymi w układzie współrzędnych;6) dla danych punktów kratowych A i B znajduje inne punkty kratowe należące do prostej AB. XI. Geometria przestrzenna. Uczeń: 1) rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy – w tym proste i prawidłowe;2) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych, prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe o poziomie trudności nie większym niż w przykładowym zadaniu:Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego dwa równe kąty mają po 45o, a najdłuższy bok ma długość dm. Jeden z boków prostokąta, który jest w tym graniastosłupie ścianą boczną o największej powierzchni, ma długość 4 dm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego oblicza objętości i pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe o poziomie trudności nie większym niż w przykładzie:Prostokąt ABCD jest podstawą ostrosłupa ABCDS, punkt M jest środkiem krawędzi AD, odcinek MS jest wysokością ostrosłupa. Dane są następujące długości krawędzi: AD = 10 cm, AS = 13 cm oraz AB = 20 objętość ostrosłupa. XII. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 1) wyznacza zbiory obiektów, analizuje i oblicza, ile jest obiektów, mających daną własność, w przypadkach niewymagających stosowania reguł mnożenia i dodawania;2) przeprowadza proste doświadczenia losowe, polegające na rzucie monetą, rzucie sześcienną kostką do gry, rzucie kostką wielościenną lub losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje je i oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych. XIII. Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej. Uczeń: 1) interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów, w tym także wykresów w układzie współrzędnych;2) tworzy diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy liniowe na podstawie zebranych przez siebie danych lub danych pochodzących z różnych źródeł;3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb. XIV. Długość okręgu i pole koła. Uczeń: 1) oblicza długość okręgu o danym promieniu lub danej średnicy;2) oblicza promień lub średnicę okręgu o danej długości okręgu;3) oblicza pole koła o danym promieniu lub danej średnicy;4) oblicza promień lub średnicę koła o danym polu koła;5) oblicza pole pierścienia kołowego o danych promieniach lub średnicach obu okręgów tworzących pierścień. XV. Symetrie. Uczeń: 1) rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta;2) zna i stosuje w zadaniach podstawowe własności symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta jak w przykładowym zadaniu: Wierzchołek C rombu ABCD leży na symetralnych boków AB i AD. Oblicz kąty tego rombu;3) rozpoznaje figury osiowosymetryczne i wskazuje ich osie symetrii oraz uzupełnia figurę do figury osiowosymetrycznej przy danych: osi symetrii figury i części figury;4) rozpoznaje figury środkowosymetryczne i wskazuje ich środki symetrii. XVI. Zaawansowane metody zliczania. Uczeń: 1) stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów o określonych własnościach;2) stosuje regułę dodawania i mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach, wymagających rozważenia kilku przypadków, na przykład w zliczaniu liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5 i mających trzy różne cyfry albo jak w zadaniu: W klasie jest 14 dziewczynek i 11 chłopców. Na ile sposobów można z tej klasy wybrać dwuosobową delegację składającą się z jednej dziewczynki i jednego chłopca? XVII. Rachunek prawdopodobieństwa. Uczeń: 1) oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach, polegających na rzucie dwiema kostkami lub losowaniu dwóch elementów ze zwracaniem;2) oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach, polegających na losowaniu dwóch elementów bez zwracania jak w przykładzie: Z urny zawierającej kule ponumerowane liczbami od 1 do 7 losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma liczb na wylosowanych kulach będzie parzysta. WYMAGANIA PROGRAMOWE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL 5 Wymagania na poszczególne oceny Dział I – Liczby naturalne Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie 200 2. mnoży i dzieli liczby naturalne w zakresie 100 3. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych 4. odczytuje kwadraty i sześciany liczb 5. zapisuje iloczyn dwóch lub trzech tych samych czynników w postaci potęgi 6. stosuje właściwą kolejność wykonywania działań w wyrażeniach dwudziałaniowych 7. zna cyfry rzymskie (I, V, X, L, C, D, M) 8. zapisuje cyframi rzymskimi liczby zapisane cyframi arabskimi (w zakresie do 39) 9. dodaje i odejmuje pisemnie liczby trzy- i czterocyfrowe 10. sprawdza wynik odejmowania za pomocą dodawania 11. mnoży pisemnie liczby dwu- i trzycyfrowe przez liczbę jedno- i dwucyfrową 12. podaje wielokrotności liczby jednocyfrowej 13. zna cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 10 i 100 14. stosuje cechy podzielności przez 2, 5, 10 i 100 15. wykonuje dzielenie z resztą (proste przykłady) 16. dzieli pisemnie liczby wielocyfrowe przez liczby jednocyfrowe Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. stosuje w obliczeniach przemienność i łączność dodawania i mnożenia 2. stosuje rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania przy mnożeniu liczb dwucyfrowych przez jednocyfrowe 3. mnoży liczby zakończone zerami, pomijając zera przy mnożeniu i dopisując je w wyniku 4. dzieli liczby zakończone zerami, pomijając tyle samo zer w dzielnej i dzielniku 5. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych 6. odczytuje potęgi o dowolnym naturalnym wykładniku 7. zapisuje potęgę w postaci iloczynu 8. zapisuje iloczyn tych samych czynników w postaci potęgi 9. oblicza potęgi liczb, także z wykorzystaniem kalkulatora 10. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem potęgowania 11. oblicza wartość trójdziałaniowego wyrażenia arytmetycznego 12. dopasowuje zapis rozwiązania do treści zadania tekstowego 13. zapisuje cyframi arabskimi liczby zapisane cyframi rzymskimi (w zakresie do 39) 14. szacuje wynik pojedynczego działania: dodawania lub odejmowania 15. stosuje szacowanie w sytuacjach praktycznych (czy starczy pieniędzy na zakup, ile pieniędzy zostanie) 16. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania pisemnego 17. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia pisemnego przez liczby dwu- i trzycyfrowe 18. stosuje cechy podzielności przez 3, 9 i 4 19. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia z resztą i interpretuje wynik działania stosownie do treści zadania 20. rozpoznaje liczby pierwsze 21. rozpoznaje liczby złożone na podstawie cech podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 100 22. zapisuje liczbę dwucyfrową w postaci iloczynu czynników pierwszych 23. znajduje brakujący czynnik w iloczynie, dzielnik lub dzielną w ilorazie 24. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia pisemnego Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. stosuje rozdzielność mnożenia i dzielenia względem dodawania i odejmowania przy mnożeniu i dzieleniu liczb kilkucyfrowych przez jednocyfrowe 2. zapisuje bez użycia potęgi liczbę podaną w postaci 10n 3. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem potęgowania 4. układa zadanie tekstowe do prostego wyrażenia arytmetycznego 5. zapisuje rozwiązanie zadania tekstowego w postaci jednego kilkudziałaniowego wyrażenia 6. zapisuje cyframi rzymskimi liczby zapisane cyframi arabskimi (w zakresie do 3000) 7. dodaje i odejmuje pisemnie liczby wielocyfrowe 8. mnoży pisemnie liczby wielocyfrowe 9. dzieli pisemnie liczby wielocyfrowe przez liczby dwu- i trzycyfrowe 10. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem działań pisemnych Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem działań na liczbach naturalnych 2. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem potęgowania 3. oblicza wartości wielodziałaniowych wyrażeń arytmetycznych (także z potęgowaniem) 4. zapisuje rozwiązanie zadania tekstowego z zastosowaniem porównywania różnicowego i ilorazowego w postaci jednego kilkudziałaniowego wyrażenia 5. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące kolejności wykonywania działań 6. uzupełnia wyrażenie arytmetyczne tak, aby dawało podany wynik 7. zapisuje cyframi arabskimi liczby zapisane cyframi rzymskimi (w zakresie do 3000) 8. szacuje wartość wyrażenia zawierającego więcej niż jedno działanie 9. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania pisemnego 10. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem mnożenia pisemnego 11. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem cech podzielności i wielokrotności liczb 12. rozkłada na czynniki pierwsze liczby kilkucyfrowe 13. rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z zastosowaniem cech podzielności, dzielenia pisemnego oraz porównywania ilorazowego Dział II – Figury geometryczne Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. rozumie pojęcia: prosta, półprosta, odcinek 2. rysuje i oznacza prostą, półprostą i odcinek 3. określa wzajemne położenia dwóch prostych na płaszczyźnie 4. wskazuje proste (odcinki) równoległe i prostopadłe 5. rozwiązuje proste zadania dotyczące prostych, półprostych, odcinków i punktów 6. wskazuje w kącie wierzchołek, ramiona i wnętrze 7. rozpoznaje, wskazuje i rysuje kąty ostre, proste, rozwarte 8. porównuje kąty 9. posługuje się kątomierzem do mierzenia kątów 10. rozpoznaje trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny 11. zna twierdzenie o sumie kątów w trójkącie 12. rozpoznaje trójkąt równoboczny, równoramienny i różnoboczny 13. wskazuje ramiona i podstawę w trójkącie równobocznym 14. oblicza obwód trójkąta 15. oblicza długość boku trójkąta równobocznego przy danym obwodzie 16. rozpoznaje odcinki, które są wysokościami trójkąta 17. wskazuje wierzchołek, z którego wychodzi wysokość, i bok, na który jest opuszczona 18. rysuje wysokości trójkąta ostrokątnego 19. rozpoznaje i rysuje kwadrat i prostokąt 20. rozpoznaje równoległobok, romb, trapez 21. wskazuje boki prostopadłe, boki równoległe, przekątne w prostokątach i równoległobokach 22. rysuje równoległobok 23. oblicza obwód równoległoboku 24. wskazuje wysokości równoległoboku 25. rysuje co najmniej jedną wysokość równoległoboku 26. rysuje trapezy o danych długościach podstaw 27. wskazuje poznane czworokąty jako części innych figur Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. rozwiązuje typowe zadania dotyczące prostych, półprostych, odcinków i punktów 2. rysuje proste (odcinki) prostopadłe i równoległe 3. rozpoznaje, wskazuje i rysuje kąty pełne, półpełne, wklęsłe 4. rozpoznaje kąty przyległe i wierzchołkowe 5. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem różnych rodzajów kątów 6. szacuje miary kątów przedstawionych na rysunku 7. rysuje kąty o mierze mniejszej niż 180° 8. rozwiązuje proste zadania dotyczące obliczania miar kątów 9. stosuje nierówność trójkąta 10. rozwiązuje typowe zadania dotyczące obliczania miar kątów trójkąta 11. oblicza obwód trójkąta, mając dane zależności (różnicowe i ilorazowe) między długościami boków 12. wskazuje różne rodzaje trójkątów jako części innych wielokątów 13. rysuje różne rodzaje trójkątów 14. rysuje wysokości trójkąta prostokątnego 15. rozwiązuje proste zadania dotyczące wysokości trójkąta 16. rysuje kwadrat o danym obwodzie, prostokąt o danym obwodzie i danym jednym boku 17. oblicza długość boku rombu przy danym obwodzie 18. rysuje dwie różne wysokości równoległoboku 19. rozpoznaje rodzaje trapezów 20. rysuje trapez o danych długościach podstaw i wysokości 21. oblicza długości odcinków w trapezie 22. wykorzystuje twierdzenie o sumie kątów w czworokącie do obliczania miary kątów czworokąta Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje typowe zadania związane z mierzeniem kątów 2. korzysta z własności kątów przyległych i wierzchołkowych 3. rozwiązuje typowe zadania dotyczące obliczania miar kątów 4. oblicza miary kątów w trójkącie na podstawie podanych zależności między kątami 5. rysuje trójkąt o danych dwóch bokach i danym kącie między nimi 6. w trójkącie równoramiennym wyznacza przy danym jednym kącie miary pozostałych kątów 7. w trójkącie równoramiennym wyznacza przy danym obwodzie i danej długości jednego boku długości pozostałych boków 8. wskazuje osie symetrii trójkąta 9. rozwiązuje typowe zadania dotyczące własności trójkątów 10. rysuje wysokości trójkąta rozwartokątnego 11. rozwiązuje typowe zadania związane z rysowaniem, mierzeniem i obliczaniem długości odpowiednich odcinków w równoległobokach, trapezach 12. rysuje trapez o danych długościach boków i danych kątach Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące prostych, półprostych, odcinków i punktów 2. wskazuje różne rodzaje kątów na bardziej złożonych rysunkach 3. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące rodzajów kątów 4. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące rodzajów i własności trójkątów, a także ich wysokości 5. rysuje równoległobok spełniający określone warunki 6. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem własności różnych rodzajów czworokątów Dział III – Ułamki zwykłe Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. zapisuje ułamek w postaci dzielenia 2. zamienia liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i ułamki niewłaściwe na liczby mieszane 3. porównuje ułamki o takich samych mianownikach 4. rozszerza ułamki do wskazanego mianownika 5. skraca ułamki (proste przypadki) 6. dodaje i odejmuje ułamki lub liczby mieszane o takich samych mianownikach 7. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o takich samych mianownikach 8. dodaje i odejmuje ułamki ze sprowadzeniem do wspólnego mianownika jednego z ułamków 9. mnoży ułamek i liczbę mieszaną przez liczbę naturalną, z wykorzystaniem skracania przy mnożeniu 10. mnoży ułamki, stosując przy tym skracanie 11. znajduje odwrotności ułamków, liczb naturalnych i liczb mieszanych 12. dzieli ułamki, stosując przy tym skracanie Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. zapisuje w postaci ułamka rozwiązania prostych zadań tekstowych 2. porównuje ułamki o takich samych licznikach 3. rozszerza ułamki do wskazanego licznika 4. skraca ułamki 5. wskazuje ułamki nieskracalne 6. doprowadza ułamki właściwe do postaci nieskracalnej, a ułamki niewłaściwe i liczby mieszane do najprostszej postaci 7. znajduje licznik lub mianownik ułamka równego danemu po skróceniu lub rozszerzeniu 8. sprowadza ułamki do wspólnego mianownika 9. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o takich samych mianownikach 10. dodaje i odejmuje ułamki lub liczby mieszane o różnych mianownikach 11. rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach 12. porównuje ułamki z wykorzystaniem ich różnicy 13. oblicza ułamek liczby naturalnej 14. mnoży liczby mieszane, stosując przy tym skracanie 15. rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem mnożenia ułamków, liczb mieszanych 16. dzieli liczby mieszane, stosując przy tym skracanie 17. rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem dzielenia ułamków 18. oblicza kwadraty i sześciany ułamków 19. oblicza wartości dwudziałaniowych wyrażeń na ułamkach zwykłych, stosując przy tym ułatwienia (przemienność, skracanie) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. porównuje dowolne ułamki 2. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o takich samych mianownikach 3. oblicza składnik w sumie lub odjemnik w różnicy ułamków o różnych mianownikach 4. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach oraz porównywania różnicowego 5. oblicza ułamek liczby mieszanej i ułamek ułamka 6. oblicza brakujący czynnik w iloczynie 7. mnoży liczby mieszane i wyniki doprowadza do najprostszej postaci 8. oblicza dzielnik lub dzielną przy danym ilorazie 9. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem mnożenia ułamków i liczb mieszanych 10. rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem dzielenia ułamków i liczb mieszanych 11. oblicza potęgi ułamków i liczb mieszanych 12. oblicza wartości wyrażeń zawierających trzy i więcej działań na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadnia z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków 2. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem mnożenia ułamków i liczb mieszanych 3. rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem obliczania ułamka liczby 4. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem dzielenia ułamków i liczb mieszanych 5. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem działań na ułamkach Dział IV – Ułamki dziesiętne Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. zapisuje ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego 2. zamienia ułamek zwykły na dziesiętny poprzez rozszerzanie ułamka 3. odczytuje i zapisuje słownie ułamki dziesiętne 4. zapisuje cyframi ułamki dziesiętne zapisane słownie (proste przypadki) 5. odczytuje ułamki dziesiętne zaznaczone na osi liczbowej 6. dodaje i odejmuje ułamki dziesiętne sposobem pisemnym 7. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych 8. mnoży i dzieli w pamięci ułamki dziesiętne przez 10, 100, 1000… 9. mnoży pisemnie ułamki dziesiętne 10. dzieli pisemnie ułamek dziesiętny przez jednocyfrową liczbę naturalną 11. zna podstawowe jednostki masy, monetarne (polskie), długości i zależności między nimi 12. zamienia większe jednostki na mniejsze Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. słownie zapisane ułamki dziesiętne zapisuje przy pomocy cyfr (trudniejsze sytuacje, np. trzy i cztery setne) 2. zaznacza ułamki dziesiętne na osi liczbowej 3. porównuje ułamki dziesiętne 4. dodaje i odejmuje ułamki dziesiętne w pamięci 5. porównuje ułamki dziesiętne z wykorzystaniem ich różnicy 6. znajduje dopełnienie ułamka dziesiętnego do całości 7. oblicza składnik sumy w dodawaniu, odjemną lub odjemnik w odejmowaniu ułamków dziesiętnych 8. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych 9. mnoży w pamięci ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną (proste przypadki) 10. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia ułamków dziesiętnych 11. dzieli w pamięci ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną (proste przypadki) 12. dzieli pisemnie ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną 13. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia ułamków dziesiętnych i porównywania ilorazowego 14. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem jednostek (np. koszt zakupu przy danej cenie za kg) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. porównuje ułamki dziesiętne z ułamkami zwykłymi o mianownikach 2, 4 lub 5 2. oblicza wartości dwudziałaniowych wyrażeń zawierających dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych 3. zapisuje i odczytuje duże liczby za pomocą skrótów (np. 2,5 tys.) 4. dzieli w pamięci ułamki dziesiętne (proste przypadki) 5. dzieli ułamki dziesiętne sposobem pisemnym 6. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem działań na ułamkach dziesiętnych 7. oblicza dzielną lub dzielnik w ilorazie ułamków dziesiętnych 8. zapisuje wyrażenie dwumianowane w postaci ułamka dziesiętnego 9. zapisuje wielkość podaną za pomocą ułamka dziesiętnego w postaci wyrażenia dwumianowanego 10. porównuje wielkości podane w różnych jednostkach Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. porównuje ułamek dziesiętny z ułamkiem zwykłym o mianowniku 8 2. rozwiązuje nietypowa zadania tekstowe z zastosowaniem porównywania ułamków dziesiętnych 3. rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych 4. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem mnożenia ułamków dziesiętnych 5. rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem dzielenia ułamków dziesiętnych 6. rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z zastosowaniem zamiany jednostek 7. rozwiązuje zadania wymagające działań na ułamkach zwykłych i dziesiętnych Dział V – Pola figur Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. rozumie pojęcie pola figury jako liczby kwadratów jednostkowych 2. oblicza pole prostokąta 3. oblicza pole równoległoboku 4. oblicza pole trójkąta przy danym boku i odpowiadającej mu wysokości 5. zna wzór na pole trapezu Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. oblicza pola figur narysowanych na kratownicy 2. oblicza pole prostokąta przy danym jednym boku i zależności ilorazowej lub różnicowej drugiego boku 3. oblicza długość boku prostokąta przy danym polu i drugim boku 4. rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem pola prostokąta 5. oblicza pole rombu z wykorzystaniem długości przekątnych 6. rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem pól równoległoboku i rombu 7. oblicza pole trójkąta 8. oblicza pole trójkąta prostokątnego o danych przyprostokątnych 9. oblicza pole trapezu o danych podstawach i danej wysokości Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje typowe zadania tekstowe dotyczące pola prostokąta 2. oblicza długość boku równoległoboku przy danym polu i danej wysokości 3. oblicza wysokość równoległoboku przy danym polu i danej długości boku 4. rozwiązuje typowe zadania dotyczące pól równoległoboku i rombu 5. oblicza długość podstawy trójkąta przy danym polu i danej wysokości 6. oblicza pole trapezu o danej sumie długości podstaw i wysokości 7. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem pola trapezu 8. wyraża pole powierzchni figury o danych wymiarach w różnych jednostkach (bez zamiany jednostek pola) 9. rozwiązuje proste zadania tekstowe z wykorzystaniem jednostek pola Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe dotyczące pola prostokąta, równoległoboku, trapezu, trójkąta 2. oblicza pola figur złożonych z prostokątów, równoległoboków i trójkątów 3. oblicza wysokości trójkąta prostokątnego opuszczoną na przeciwprostokątną przy danych trzech bokach 4. oblicza wysokość trapezu przy danych podstawach i polu 5. oblicza długość podstawy trapezu przy danej wysokości, drugiej podstawie i danym polu 6. oblicza pola figur, które można podzielić na prostokąty, równoległoboki, trójkąty, trapezy 7. rozwiązuje zadania tekstowe z wykorzystaniem różnych jednostek pola 8. zamienia jednostki pola 9. porównuje powierzchnie wyrażone w różnych jednostkach Dział VI – Matematyka i my Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. oblicza upływ czasu pomiędzy wskazaniami zegara bez przekraczania godziny 2. oblicza godzinę po upływie podanego czasu od podanej godziny bez przekraczania godziny 3. zamienia jednostki masy 4. oblicza średnią arytmetyczną dwóch liczb naturalnych 5. odczytuje liczby całkowite zaznaczone na osi liczbowej 6. zaznacza na osi liczbowej podane liczby całkowite 7. odczytuje temperaturę z termometru 8. dodaje dwie liczby całkowite jedno- i dwucyfrowe Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. oblicza upływ czasu pomiędzy wskazaniami zegara z przekraczaniem godziny 2. oblicza godzinę po upływie podanego czasu od podanej godziny z przekraczaniem godziny (bez przekraczania doby) 3. oblicza datę po upływie podanej liczby dni od podanego dnia 4. rozwiązuje proste zadania dotyczące czasu, także z wykorzystaniem informacji podanych w tabelach i kalendarzu 5. oblicza koszt zakupu przy podanej cenie za kilogram lub metr 6. oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb naturalnych 7. rozwiązuje proste zadania tekstowe dotyczące obliczania średniej arytmetycznej (np. średnia odległość) 8. wyznacza liczbę przeciwną do danej 9. porównuje dwie liczby całkowite 10. oblicza sumę kilku liczb całkowitych jedno- lub dwucyfrowych 11. rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem dodawania liczb całkowitych 12. korzystając z osi liczbowej, oblicza o ile różnią się liczby całkowite 13. oblicza różnicę między temperaturami wyrażonymi za pomocą liczb całkowitych Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje typowe zadania dotyczące czasu, także z wykorzystaniem informacji podanych w tabelach i kalendarzu 2. oblicza na jaką ilość towaru wystarczy pieniędzy przy podanej cenie jednostkowej 3. rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem średniej arytmetycznej 4. porządkuje liczby całkowite w kolejności rosnącej lub malejącej 5. oblicza temperaturę po spadku (wzroście) o podaną liczbę stopni 6. wskazuje liczbę całkowitą różniącą się od danej o podaną liczbę naturalną Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe dotyczące czasu i kalendarza 2. rozwiązuje zadania, w których szacuje i oblicza łączny koszt zakupu przy danych cenach jednostkowych oraz wielkość reszty 3. rozwiązuje zadania z zastosowaniem obliczania średniej wielkości wyrażonych w różnych jednostkach (np. długości) 4. oblicza sumę liczb na podstawie podanej średniej 5. oblicza jedną z wartości przy danej średniej i pozostałych wartościach 6. oblicza średnią arytmetyczną liczb całkowitych 7. rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem porównywania różnicowego i dodawania liczb całkowitych Dział VII – Figury przestrzenne Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. rozróżnia graniastosłupy, ostrosłupy, prostopadłościany, kule, walce i stożki 2. rozróżnia i wskazuje krawędzie, wierzchołki, ściany boczne, podstawy brył 3. podaje liczbę krawędzi, wierzchołków i ścian graniastosłupów i ostrosłupów 4. oblicza objętości brył zbudowanych z sześcianów jednostkowych 5. stosuje jednostki objętości 6. dobiera jednostkę do pomiaru objętości danego przedmiotu 7. rozpoznaje siatki prostopadłościanów i graniastosłupów Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. rysuje rzuty prostopadłościanów, graniastosłupów i ostrosłupów 2. oblicza objętości prostopadłościanu o wymiarach podanych w tych samych jednostkach 3. oblicza objętość sześcianu o podanej długości krawędzi 4. rozumie pojęcie siatki prostopadłościanu 5. rysuje siatkę sześcianu o podanej długości krawędzi 6. rysuje siatkę prostopadłościanu o danych długościach krawędzi Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli: 1. podaje przykłady brył o danej liczbie wierzchołków 2. podaje przykłady brył, których ściany spełniają dany warunek 3. oblicza objętości prostopadłościanu o wymiarach podanych w różnych jednostkach 4. rozwiązuje typowe zadania tekstowe dotyczące objętości prostopadłościanu 5. dobiera siatkę do modelu prostopadłościanu 6. oblicza objętość prostopadłościanu, korzystając z jego siatki 7. rysuje siatki graniastosłupów przy podanym kształcie podstawy i podanych długościach krawędzi 8. dobiera siatkę do modelu graniastosłupa Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli: 1. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące graniastosłupów i ostrosłupów 2. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące objętości 3. oblicza wysokość prostopadłościanu przy danej objętości i danych długościach dwóch krawędzi 4. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące objętości prostopadłościanu 5. rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące siatek graniastosłupów adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Pewna liczba dwucyfrowa nie dzieli się przez 4. Gdy dopiszemy do niej cyfrę 4 jako cyfrę jedności, to liczba trzycyfrowa będzie podzielna przez 12. Ile jest liczb dwucyfrowych, które spełniają te warunki? Althorion Użytkownik Posty: 4541 Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 9 razy Pomógł: 662 razy Liczby spełniające podane warunki Post autor: Althorion » 18 gru 2010, o 15:44 Podpowiedź 1.: Najpierw zanalizuj, ile liczb dwucyfrowych jest niepodzielnych przez cztery, a potem - ile z nich po dopisaniu cyfry cztery będzie podzielnych przez dwanaście. Podpowiedź 2.: Liczby podzielne przez dwanaście to te podzielne przez trzy i cztery na raz. adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Post autor: adam93 » 18 gru 2010, o 18:05 Wychodzi, że jest 8 liczb które spełniają te warunki. Ale nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem. Mam wypisać wszystkie liczby dwucyfrowe, a następnie wykreślać te, które nie spełniają podanych warunków? Wydaję mi się, że jest to trochę mało "matematyczna" metoda Althorion Użytkownik Posty: 4541 Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 9 razy Pomógł: 662 razy Liczby spełniające podane warunki Post autor: Althorion » 18 gru 2010, o 18:22 Jest to metoda jednak skuteczna. Ale po co z niej korzystać, jak można prościej: Podpowiedź 2.: Liczby podzielne przez dwanaście to te podzielne przez trzy i cztery na raz.[/quote Czyli suma ich cyfr musi być podzielna przez trzy oraz liczba ułożona z dwóch ostatnich cyfr musi być podzielna przez cztery. Z tego drugiego warunku wiemy, że liczba ta musi się kończyć na \(\displaystyle{ 24}\), \(\displaystyle{ 44}\), \(\displaystyle{ 64}\) lub \(\displaystyle{ 84}\). I teraz rozważmy kolejno wszystkie przypadki: a) \(\displaystyle{ 24}\): Żeby liczba była trzycyfrowa i podzielna przez trzy, na pierwszym miejscu może stanąć tylko \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 6}\) lub \(\displaystyle{ 9}\). b) \(\displaystyle{ 44}\): Jw., tyle że \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 7}\) c) \(\displaystyle{ 64}\) Jw., tyle że \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 5}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) d) \(\displaystyle{ 84}\) Tak jak w a) Łącznie mamy 12 takich liczb: \(\displaystyle{ 32, 62, 92, 14, 44, 74, 26, 56, 86, 38, 68, 98}\) Z nich wypisać te niepodzielne przez cztery - i gotowe. Przy czym podkreślę jeszcze raz, metoda z wypisywaniem wszystkich jest jak najbardziej poprawna. adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Post autor: adam93 » 18 gru 2010, o 19:57 Ok, dzięki za pomoc. Dodam tylko, że liczba może się kończyć jeszcze na 04, więc mamy 15 a nie 12 liczb (dochodzi 20, 50, 80) KATALOG WYMAGAŃ DO DZIAŁU „CIĄGI”(KLASA II LO i Technikum)(zakres podstawowy i rozszerzony)CZYNNOŚCI UCZNIA:WYMAGANIA NA OCENĘ: DOPUSZCZAJĄCĄ (KONIECZNE):1. Zna definicję ciągu liczbowego. (A)2. Definiuje ciąg rosnący, malejący, stały. (A)3. Podaje przykłady (wypisuje kolejne wyrazy; słownie):ciągu liczbowego (nieskończonego; skończonego), ciągu rosnącego, malejącego, stałego, niemonotonicznego. (B)4. Rozpoznaje, na podstawie wykresu ciągu jego monotoniczność. (A)5. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym (proste przykłady). (C)6. Rysuje wykres ciągu (rosnącego, malejącego, stałego, arytmetycznego, geometrycznego,naprzemiennego, zbieżnego) na podstawie wzoru ogólnego ciągu albo przez podanie własnego przykładu ciągu.(C)7. Odczytuje z wykresu własności ciągu. (B)8. Oblicza kolejne i dowolne wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. (C)9. Wyznacza wyrazy ciągu opisanego słownie. (C) definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A) czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C) przykłady ciągu: arytmetycznego i geometrycznego (wypisuje kolejne wyrazy, rysuje wykres, opisuje słownie). (B) wyrazy ciągu arytmetycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i różnicę (r). (C) wyrazy ciągu geometrycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i iloraz (q). (C) wzór na n–ty wyraz (an) ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(A) n–ty wyraz ciągu arytmetycznego (geometrycznego), znając a1 i r (a1 i q). (C) wzór na sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A) sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego.(C) dla jakiego r ciąg arytmetyczny jest rosnący, malejący, stały. (A) takie a1 i r, aby ciąg arytmetyczny był rosnący,malejący, stały. (B) a1,r,n lub an (a1,q,n lub an) mając dane trzy z nich.(C) proste zadania, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C) procent prosty i składany w prostych zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (np.: rozumie ideę funkcjonowania banku, oblicza zysk z lokaty przy rocznej kapitalizacji odsetek i danej, stałej stopie procentowej). (C)24.*Rozumie pojęcie ciągu zbieżnego do zera. (B)25.*Wie, kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny do zera. (A)26.*Podaje przykład ciągu zbieżnego do zera. (B)27.*Odczytuje z rysunku granice ciągów (proste przykłady). (B)28.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C) pojęcie ułamka dziesiętnego okresowego. (A)30.*Zna wzór na sumę szeregu geometrycznego. (A)31.*Oblicza sumę szeregu geometrycznego. (C)WYMAGANIA NA OCENĘ DOSTATECZNĄ (PODSTAWOWE):1. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym albo słownie. (C)2. Określa ciąg (ogólnym wyrazem lub słownie), mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)3. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są równe danej liczbie (rozwiązuje odpowiednie równanie). (C)4. Określa własności zadanego ciągu. (C)5. Sprawdza, czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C)6. Bada, na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C)7. Wyznacza a1 i r (a1 i q) znając dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)8. Rozpoznaje ciągi geometryczne na podstawie wzoru. (A)9. Wie dla jakich a1 i q ciąg geometryczny jest rosnący, malejący, stały, naprzemienny. (A) takie a1 i q, aby ciąg geometryczny był rosnący, malejący, stały. (B) wyraz środkowy ciągu arytmetycznego (geometrycznego), wykorzystując średnią arytmetyczną (geometryczną). (C) a1,r,n,an,Sn (a1,q,n,an,Sn) mając dane trzy z nich. (C) proste zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)np.:a) oblicza sumę liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych nieparzystych dwucyfrowych,c) oblicza sumę danych liczb naturalnych nieparzystych nie większych od 10000,d) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych,e) oblicza sumę wszystkich naturalnych potęg liczby 2 mniejszych od Rozwiązuje proste zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)15. Rozwiązuje zadania z życia codziennego, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C)16. Stosuje procent prosty i składany w zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (oblicza np.: zyski z lokaty na podstawie informacji o oprocentowaniu i okresach kapitalizacji odsetek; liczbę lat oszczędzania; wkład początkowy). (C)17.*Rozumie intuicyjnie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)18.*Ilustruje graficznie pojęcie granicy skończonej ciągu. (B)19.*Przedstawia interpretację geometryczną ciągu dążącego do ∞ (-∞). (B)20.*Zna twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (A)21.*Stosuje twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (C)22.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C)23.*Odróżnia ciąg geometryczny od szeregu geometrycznego. (B)24.*Zna warunek istnienia sumy nieskończonego ciągu geometrycznego (warunek zbieżności szeregu geometrycznego). (A)25.*Wyznacza warunek zbieżności szeregu geometrycznego (rozwiązuje prostą nierówność z wartością bezwzględną). (C)26.*Stosuje pojęcie szeregu geometrycznego do zamiany ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły. (C)27.*Oblicza wielkości S,a1 lub q mając dane dwie z nich. (C) proste równania i nierówności, w których: (C)a) lewa strona jest sumą skończonego ciągu arytmetycznego,b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu NA OCENĘ DOBRĄ (ROZSZERZAJĄCE):1. Wyznacza wzór ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)2.*Oblicza kolejne wyrazy ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego. (C)3.*Znajduje wzór ogólny ciągu rekurencyjnego (proste przykłady).(C)4. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu (liczbowego, arytmetycznego, geometrycznego) określonego wzorem ogólnym (trudniejsze przykłady). (C)5. Sprawdza monotoniczność ciągu przez badanie ilorazu an+1/an. (C)6. Bada własności ciągu. (C)7. Definiuje ciąg nierosnący, niemalejący. (A)8. Rozumie pojęcie ciągu nierosnącego, niemalejącego. (B)9. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an są mniejsze (większe, itp.) od danej liczby (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C) które wyrazy ciągu należą do danego przedziału. (C) które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są liczbami naturalnymi (całkowitymi) i wyznacza te wyrazy. (C) wzór na an, mając dany wzór na Sn dowolnego ciągu. (C) wzorem definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (B) na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C) wzór na an w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D) zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)np.:a) oblicza sumę liczb naturalnych trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych,c) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trudniejsze zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C) ciągi arytmetyczne i geometryczne w otaczającej rzeczywistości. (D) ciąg arytmetyczny (geometryczny) na podstawie podanych danych. (C)20.*Rozumie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)21.*Rozumie pojęcie ciągu rozbieżnego. (B)22.*Oblicza granice ciągów (właściwe i niewłaściwe), stosując odpowiednie twierdzenia o granicach ciągów. (C)23.*Bada warunek istnienia sumy szeregu geometrycznego (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C) równania i nierówności, w których: (C)a) lewa strona jest sumą skończoną ciągu arytmetycznego,b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu monotoniczność ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(D)26.*Odkrywa warunek zbieżności szeregu geometrycznego. (D) czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D) zadania stosując wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (geometrycznego), również umieszczone w kontekście praktycznym. (C) zadania łączące wiadomości o ciągach: arytmetycznym i geometrycznym. (C) wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D) trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokość oprocentowania lokaty w skali roku przy danej kapitalizacji odsetek; wysokość raty kredytu, łączną wartość odsetek od tego kredytu; porównuje zyski z lokat). (C)WYMAGANIA NA OCENĘ BARDZO DOBRĄ (DOPEŁNIAJĄCE):1. Określa ciąg rekurencyjnie. (C)2. Wyznacza wyraz ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy tego ciągu, *opis rekurencyjny ciągu albo wykres ciągu. (C)3.*Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu. (C)4.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D)5. Podaje przykład ciągu spełniającego zadane warunki. (D)6. Znajduje wzór ciągu arytmetycznego (geometrycznego) na podstawie podanych informacji. (C)7. Rozwiązuje zadania tekstowe łączące jednocześnie wiadomości o ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)8. Stosuje wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D)9. Korzystając z własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego), bada zjawiska opisane przez taki ciąg. (D) wzór na Sn w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)11.*Zna definicję granicy skończonej ciągu. (A)12.*Zna definicję granicy niewłaściwej ciągu. (A)13.*Zapisuje symbolicznie (kwantyfikatorowo) definicję granicy ciągu (zbieżnego i rozbieżnego do ∞ (-∞)). (A)14.*Podaje przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych (podając wzór ogólny). (B)15.*Przytacza twierdzenia pozwalające obliczać granice ciągów. (A)16.*Dowodzi twierdzenia o granicach ciągów. (D)17.*Oblicza trudniejsze granice ciągów (np. z zastosowaniem wzorów na sumę częściową ciągu arytmetycznego lub geometrycznego). (C)18.*Bada istnienie granicy ciągu (właściwej, niewłaściwej) w zależności od wartości parametru (i oblicza tę granicę). (D)19.*Definiuje szereg geometryczny. (A)20.*Stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego w zadaniach geometrycznych i innych. (C) trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokości rat malejących; porównuje różne sposoby spłacania kredytu); dostrzega związek wzoru na procent składany z ciągiem geometrycznym. (C) różne zadania z parametrem z ciągów. (D)WYMAGANIA NA OCENĘ CELUJĄCĄ (WYKRACZAJĄCE):1. Bada monotoniczność ciągu rekurencyjnego. (C)2. Bada zbieżność ciągu rekurencyjnego. (C)3. Zna twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy danego ciągu. (A)4. Rozumie twierdzenie o trzech ciągach. (B)5. Oblicza granice ciągów stosując twierdzenie o trzech ciągach.(C)6. Zna definicję liczby e. (A)7. Wyznacza liczbę e jako granicę ciągu. (D)8. Oblicza granice ciągów korzystając z definicji liczby e. (C)9.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D) na podstawie definicji granicy ciągu, że dana liczba jest granicą ciągu. (D) z definicji, że ciąg jest rozbieżny do ∞ (-∞). (D) zadania na dowodzenie dotyczące ciągów. (D)Uwaga: gwiazdką (*) wyróżniono badane czynności z zakresu rozszerzonego.

dane są warunki dotyczące liczb dwucyfrowych